Ο Γουάτς γεννήθηκε στο Λονδίνο κατά τη διάρκεια του δευτέρου Παγκοσμίου Πολέμου και ξεκίνησε να ακούει τζαζ μουσική από τα παιδικά του χρόνια, με κύριες επιρροές τους Μάιλς Ντέιβις και Τζον Κολτρέιν. Μετατρέποντας ένα μπάντζο σε ταμπούρο, έπαιξε για πρώτη φορά τύμπανα, ενώ στα δεκαέξι του χρόνια έφυγε από το σχολείο του και εγγράφηκε στην σχολείο τεχνών του Χάροου. Το 1963 έπαιζε στο τζαζ γκρουπ Blues Incorporated του Alexis Corner, όταν οι Rolling Stones του ζήτησαν να παίξει στο συγκρότημα τους και, μετά από επανειλημμένες αρνήσεις, τελικά δέχτηκε. Παρά την τεράστια επιτυχία των Rolling Stones, ο Γουότς δεν σταμάτησε ποτέ να παίζει και να ηχογραφεί τζαζ.